Đẳng thức kì lạ

Tủ sách mở Wikibooks
Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm
Chúng ta hãy xem hai tập hợp số tự nhiên dưới đây, mỗi tập hợp có 6 số hạng, tổng 2 bên bằng nhau:
1+6+7+17+18+23=2+3+11+13+21+22;
Xem xong đẳng thức trên, bạn có thể sẽ nói, điều này chẳng có gì lạ lùng, loại số này muốn bao nhiêu sẽ có bấy nhiêu! Nhưng, hãy khoan, mờì bạn nhìn xuống dưới đây:
1²+6²+7²+17²+18²+23²=2²+3²+11²+13²+21²+22²;
Mời xem tiếp:
1³+6³+7³+17³+18³+23³=2³+3³+11³+13³+21³+22³;
1^4+6^4+7^4+17^4+18^4+23^4=2^4+3^4+11^4+13^4+21^4+22^4;
1^5+6^5+7^5+17^5+18^5+23^5=2^5+3^5+11^5+13^5+21^5+22^5;
Có lẽ, bạn sẽ thấy hơi bất ngờ nhưng nó không phải là vô hạn. Tiếp nữa, bậc 6, bậc 7,... đẳng thức sẽ không thể thành lập.
Hai tập hợp số tự nhiên này xem ra kì diệu vô cùng. Vậy chúng được viết ra dựa vào đâu? Ngoài chúng ra, còn có những số tự nhiên khác có tính chất như vậy không?
Nhà toán học nổi tiếng của Liên Xô trước đây Gaierfande đã giải đáp được câu hỏi này. Thì ra, những con số này bắt nguồn từ đẳng thức sau:
a^n+(a+4b+c+)^n+(a+b+2c)^n+(a+9b+4c)^n+(a+6b+5c)^n+(a+10b+6c)^n
=(a+b)^n+(a+c)^n+*(a+6c+2c)^n+(a+4b+4c)^n+(a+10b+5c)^n+(a+9b+6c)^n
Trong đó, n=1,2,3,4,5 những số mà đưa ra ở trên, chỉ là khi đẳng thức a=1, b=1, c=2. Nếu a,b,c là các số tự nhiên khác, thì có thể đạt được các tập hợp khác có tính chất tương tự rồi. Chúng ta vốn cho rằng các tập hợp như thế có lẽ là "lông phượng sừng lân", vô cùng quý hiếm và ít ỏi. Bây giờ xem ra, chúng quả là nhiều như kiến, không có gì kì lạ.
Vấn đề này, trong Toán học gọi là "vấn đề tổng các luỹ thừa bậc k với số mũ bằng nhau". Ông Huoluokang quá cố từng nghiên cứu nó, và đạt rất nhiều thành quả. Bây giờ đã có thể đưa ra bao nhiêu đẳng thức, khiến cho số mũ luỹ thừa bậc 8, bậc 10 cũng đều được thành lập. Nhưng vấn đề vẫn chưa giải quyết tận gốc, đẳng thức của kết quả phép luỹ thừa cực cao vẫn chưa đạt được, k có giới hạn không, đẳng thức có phải sẽ không thể thiết lập nữa hay không? Hễ là những loại đó, đều vẫn chưa có được giải đáp.